「114514」题解

前言

  搬运过来一天也没有人做，那我就来一发题解罢，免得这道题后世无人可做。

解析

  题意很简单，求 中有多少个数满足 。

  首先对后面的数分解质因数得到 ，再对同余式进行移项化简得到 。

  由费马小定理可知 是 的倍数，并且由于二者奇偶性相同，所以也是 的倍数。同理可得 也是 的倍数，所以只剩下 。我们再证 是 的倍数。

  还是费马小定理可以知道 ，我们在方程两侧同时乘以 得到十个新的方程，再加上原来的方程，将他们全部列出：

  把他们全部加和就可以得到 。上述证明实际上可以扩展到一般命题，这里不再赘述。

  这样我们就证出对于任意的正整数 ，该命题均成立，因此答案即为 。